黎曼猜想被证明？abc仍是猜想？震惊数学界两大新闻

　　来源：中科院物理所

　　今天收到了许多读者的留言询问黎曼猜想是否被证明了，这是因为著名的数学家迈克尔?阿蒂亚（Michael Atiyah）宣布将在9月24日的海德堡获奖者论坛（Heidelberg Laureate Forum）上公布自己证明黎曼猜想的方法。


○海德堡获奖者论坛的官方Twitter证实了这一消息。可能是他们的小编过于激动，把24日打成了25日。

　　自提出以来，黎曼猜想已经困扰了数学家一个多世纪。证明黎曼猜想无疑是数学家梦寐以求的愿望。因此对许多人而言，这个消息既让人兴奋，又让人怀疑。我们并不知道阿蒂亚给出的答案是否就是正确的，也不知道证明过程是否足够优雅简洁，能够很快被其他数学家消化。或许其他人可能要花上数年的时间才能做出判定。例如，我们不久前提到的破解了数学物理领域的13个难题中的“量子霍尔效应”，就耗费了多年的时间才得到了学界的认可（详见：《“已解决！” 数学物理领域的13个难题，终于有一个被完全破解！》）。

　　在没有获得更多的信息之前，我们还无法知道黎曼猜想是否被证明了。但无论结果如何，这都是值得期待的一天。

　　而另一个重磅新闻，也是今天将着重讨论的主题，则是曾经轰动一时的abc猜想的证明――它似乎正在面临史上最大挑战！


　　ABC仍然是猜想？

　　2012年，日本京都大学的望月新一（Shinichi Mochizuki）在四篇总长度超过500页的论文中，提出了数论中最深远的问题之一――abc猜想的证明方法。但是，几乎没人能看懂他的论文，因为他采用的是自己发展起来的数学工具。除他本人之外，数学界并无他人通晓，致使无人能对望月新一的证明做出判断。

　　但就在昨天，新晋菲尔兹奖得主Peter Scholze和数学家Jakob Stix在线上发表了一篇题为《为什么abc仍然是猜想》的论文，宣称找到了abc猜想证明的“严重的、不可修复的裂缝！”


○左：Peter Scholze；右：望月新一通过视频回答众人的疑惑。| 图片来源：Nyani Quarmyne/Philipp Ammon

　　Peter Scholze和望月新一都是数学界的两位巨匠，他们都做出了革命性的贡献，开辟了新的框架并解决了大的问题。而不同的是，Peter Scholze的思想很快就可以被数学界吸收学习，而望月新一的理论至今都没有被主流数学界完全理解并承认。

　　虽然有十多名深入研读过这个证明的数学家认为它是正确的，但是数学家Brian Conrad在去年十二月的博客讨论中评论说，断言证明正确性的只有”望月圈子“里的数学家，而其他人即使是在非正式的情况下，也没有愿意表达他们相信望月新一的证明是完备的。

　　芝加哥大学的Frank Calegari在十二月的博客文章中写道：“数学家们非常不愿确切表示望月新一的论证有问题，是因为他们无法指出任何明确的错误。”

　　现在，事情出现了转机。Scholze和Stix称，在望月新一四篇论文中的第三篇的“推论3.12”中，其证明结尾处有一行论证是根本错误的。而这一推论是望月新一abc证明的核心。

　　Scholze说：“我认为abc猜想仍然是开放的问题，任何人都有机会证明它。”

　　Scholze和Stix的结论不仅仅是基于他们自己对于那些论文的研究，还基于他们在今年三月份到访京都大学与望月新一和他的同事Yuichiro Hoshi讨论这个证明的经历。Scholze表示，这次为期一周的拜访帮助他和Stix提炼出了直达本质的反对理由。他们在报告中写道，他们“得出结论，（abc猜想）并没有证明”。

　　但是他们的会面并没能产生令人满意的结论：望月新一无法说服Scholze和Stix确信他的论证是坚实可靠的，而他们二人也无法让望月新一信服他的证明是不正确的。现在，望月新一将Scholze和Stix的报告，以及几篇自己的反驳报告发布在自己的网站上。

　　在反驳中，望月新一将Scholze和Stix的批评归因于他们对他的工作有着“某些根本性的误解”。

　　正如同望月新一极高的声誉会让数学家将他的工作视为对abc猜想的一次认真尝试，Sholze和Stix的地位也会确保数学家将关注他们说了什么。尽管只有30岁，Scholze已经迅速上升到他所在领域的顶端，在八月，他才刚刚被授予了代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖。同时，Stix是望月新一研究的远阿贝尔几何（anabelian geometry）领域的专家。


○Jakob Stix是远阿贝尔几何领域的专家。| 图片来源：MFO

　　什么是abc猜想？

　　abc猜想是数论领域中最重要的难题之一，是最初由法国数学家Joseph Oesterlé和英国数学家David Masser在1985年提出的纯数学问题。它的名字源于一个简单的方程a+b = c，但它包含了对数的自然属性最深刻的探寻，直击数的基本性质。数学家们长期以来认为这个猜想是正确的，但却从来没有人能够证明这一点。

　　在方程中， a、b、c三个数字都是正整数，且没有共同的质因数。因此，我们可以考虑诸如 8 + 9 = 17 或者 5 + 16 = 21 这样的方程，但不能是 6 + 9 = 15，因为6、9和15都可以被质数3整除。

　　如果给定这样一个等式，我们可以找出能够被三个数同时整除的所有质数，例如对于方程 5 + 16 = 21，所有的质数有5、2、3、7。将这些质数相乘会得到210，比初始方程中的任何一个数都大得多。与此相反，对于方程 5 + 27 = 32，所有质数是5、3、2，它们的乘积是30，比初始方程中的32小。这个乘积之所以很小是因为27和32都只是很小的质因数（分别是3和2）多次相乘得到的。

　　如果开始寻找其他abc三元组，会发现第二种情况非常罕见。例如，对于使用1到100之间的a和b能够产生的3044个不同的三元组，只有7个方程中这些质数的乘积小于c。上世纪八十年代首次提出的abc猜想试图证明这一直觉，那就是这种三元组很少出现。

　　更具体地说来，仍旧回到5 + 27 = 32这个例子，32比30大，但是只大了一点点。32比302或者301.5小，甚至也比301.02（约等于32.11）小。abc猜想说的是，选定任何一个大于1的指数x，只存在有限多的abc三元组使得c比质因数乘积的x次幂大。

　　牛津大学的Minhyong Kim说：“abc猜想是关于乘法和加法的非常基本的表述。”这是那种“你仿佛在揭示数字系统的某种非常基本的结构，是你从未见过的结构”的论述。

　　a+b=c的简单性意味着，许多其他问题都可以归入这个猜想的范围。例如，费马大定理是关于形式为xn+ yn= zn的方程（对于n>2的正整数，不存在三个正整数x，y，z使得方程成立）；而卡塔兰猜想断言，8=23和9=32是仅有的两个都是正整数幂的连续整数，也就是关于方程xm+1=yn的解的问题。（特定形式的）abc猜想会为这两个定理提供新的证明，并解决一系列相关的开放性问题。

　　哥伦比亚大学的Dorian Goldfeld写道，abc猜想“似乎总是位于已知和未知的边界上”。


○望月新一的论文。望月新一发展了一种全新的数学形式，叫作全面一般化泰希米勒理论（Inter-Universal Teichmüller Theory， IUT），这是一种将代数元素与几何学结合起来的理论，他独自研究了近10年，并用它来解开ABC猜想。| 图片来源：Jacob Aron/NewScientist

　　abc猜想的证明可能产生的大量结果让数论学家相信，证明这个猜想可能非常困难。所以当2012年传言说望月新一已经给出了一个证明时，很多数论学家热情地投身于他的工作，结果却被不熟悉的语言和不同寻常的陈述所阻碍。定义展开了好几页，接着是陈述同样长的定理，但是这些定理的证明本质上却只是说“根据定义可以立即得到”。

　　Scholze是望月新一论文的早期读者之一。他以快速而深入吸收数学的能力而著称，并比很多数论学家都走得远，在四篇主要论文出来后不久，他完成了他所谓的“粗略阅读”。Scholze为冗长的定理和简短的证明所困惑，他觉得这些证明虽有道理却很脆弱。他之后写道，中间的两篇论文真正包含的内容似乎非常少。

　　然后，Scholze进展到了第三篇论文中的推论3.12。数学家通常使用“推论”来指之前的更重要定理的次要结果，但是对于望月新一的推论3.12，数学家认为这是证明abc猜想的核心，如Calegari曾写到的那样，若没有这个推论，”就根本没有证明，这是关键的一步”。

　　这个推论是中间两篇论文中唯一一个证明过程超过几行的定理――它占了整整九页。当Scholze通读这个证明时，有一个地方他完全无法跟上逻辑。

　　当时只有24岁的Scholze认为这个推论的证明是有缺陷的，但是绝大多数时候，他都远离关于这些论文的讨论，除非有时候直接被问及他的想法。他想，或许其他数学家会从论文中发现他遗漏了的重要想法。也或许，他们会得到跟他相同的结论。无论如何，数学界一定能够解决这些问题。

　　埃舍尔楼梯

　　与此同时，其他数学家也在努力研究那些密密麻麻的论文。许多人对在2015年年底于牛津大学举行的望月新一工作研讨会议寄予了厚望，但是当几位望月新一的密切合作者试图描述证明的关键思想时，“一团迷雾”似乎笼罩到了听众身上。Conrad在会议后不久的一篇报告中写道：“那些理解望月新一工作的人需要更好地跟算数几何学家沟通，是什么使得证明有效。”

　　在Conrad发表文章之后几天，他收到了来自三位不同数学家（其中一个是Scholze）的邮件，所有邮件都表达了一个相同的故事：他们能够理解那些论文，直到一个特定的部分。Conrad随后写道：“令他们感到困惑的地方都是推论3.12” 。

　　Kim从另一位数学家，现在在京都大学的Teruhisa Koshikawa那里听到了类似的关于推论3.12的困扰。Stix也在同一个地方感到困惑。许多数论学家逐渐意识到，这个推论是症结所在，但是并不清楚是论证有漏洞，还是望月新一需要更好地解释他的推理。

　　2017年底，谣言四起，许多数论学家惊愕不已――望月新一的论文被数理解析研究所的出版部门（PRIMS）接受发表，而望月新一本人是这个期刊的主编。Calegari认为这个安排“非常不妥”，尽管编辑们在这样的情况下通常会回避。然而，许多数论学家更为困扰的是这些论文仍然难以阅读这一事实。

　　芝加哥大学的Matthew Emerton写道：“那些声称理解论证过程的专家们没有一个能成功地向众多迷惑不解的专家来解释那些证明。”

　　Calegari曾在博客中表示，这是“一场彻底的灾难”。“现在，我们处于一种荒谬的境地，在京都它是abc定理，在其他地方则是abc猜想。”

　　PRIMS很快对新闻界的询问作出回应，声明说，这些论文实际上并没有被接受。

　　Scholze认为，围绕这个证明的整个讨论已经变得“太过于社会化”，每个人都只是在谈论说这感觉不像是一个证明，但是没有人说“实际上是在这一点上没人理解这个证明”。

　　所以在Calegari的博客文章下面的评论部分，Scholze写道，在推论3.12的证明中，他“完全无法理解图3.8之后的逻辑”。并补充说，“声称理解证明过程的数学家不愿意承认在那里必须有更多解释。”

　　望月新一在京都大学的同事、菲尔兹奖得主森重文（Shigefumi Mori）向Scholze致信，提议他和望月新一见上一面。Scholze找到了Stix，他们两人在三月份来到京都，与望月新一和Hoshi讨论让人们困惑的证明。

　　望月新一解决abc猜想的方法是将问题转化为一个关于椭圆曲线的问题，这是包含x和y两个变量的一种特殊类型的三次方程。这个转化过程很简单，在望月新一的工作之前就已经众所周知――将每一个abc方程与穿过x轴上a、b两点和原点的椭圆曲线联系起来――但是它使得数学家能够利用椭圆曲线丰富的结构，因为椭圆曲线将数论与几何、积分和其他数学分支连接。同样的转化过程是1994年Andrew Wiles证明费马大定理的核心。

　　然后，abc猜想就被归结为证明与椭圆曲线相关的两个量之间的一个确定的不等式。望月新一的工作将这个不等式再次转化为另一种形式，Stix说，这可以被认为是比较两个集合的体积。在推论3.12中，望月新一试图证明这个新的不等式，如果这个推论是真的，就能证明abc猜想。

　　Scholze和Stix表示，这个证明涉及处在实数的两个不同拷贝内观察两个集合的体积，然后，实数的这两个不同拷贝又被表示为实数的六个不同拷贝组成的圆的一部分，同时还包括解释圆上的每个实数拷贝如何与近邻联系的映射。为了追踪集合的体积如何彼此联系，必须理解不同拷贝下的体积测量如何联系。

　　Stix说：“如果有两个变量的不等式，但是测量的尺子因为无法控制的因素而有些收缩，那就会失去对不等式实际意义的控制。”

　　Scholze和Stix认为，正是在这个论证的关键点上出错了。在望月新一的映射中，测量标尺在局域上相互兼容，但是如果绕着圆走一圈，最终测量标尺看起来将会不同于另一种绕行方式的结果。Stix表示，这种情况类似于埃舍尔著名的蜿蜒楼梯，楼梯向上攀登再攀登，最终却处在起始位置的下面。


○埃舍尔楼梯。| 图片来源：Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

　　Scholze和Stix断言说，体积测量上的不相容意味着最终的不等式是在两个错误的量之间进行比较。然而，如果做出调整使得体积测量变得整体兼容，不等式就会变得无意义。

　　深入研究过望月新一论文的数学家Kiran Kedlaya说，Scholze和Stix已经“识别出一种方法以表明望月新一的论证不可能有效，所以如果论证是正确的，就必须做出一些不同的、更为微妙的证明”。

　　望月新一争辩说，更为微妙的事情恰好是这个证明所做的。他写道，Scholze和Stix的错误在于，他们对本应被视为互不相同的数学对象进行了任意鉴别。

　　数学家现在必须吸收Scholze和Stix的论证和望月新一的回应。但是Scholze希望，与望月新一最初的一系列论文的情形不同，这个论证不应该是一个旷日持久的过程，因为他们的反对证明技术性并不是很强。其他数论学家“完全能够跟上这一周我们与望月新一的讨论”。

　　望月新一看待事情的方式截然不同。在他看来，Scholze和Stix的批评是源自于“缺乏足够的时间来深入思考讨论的数学问题”，或许还伴随着“一种深切的不适感，或者说生疏感，因为这是对熟悉的数学对象的新的思考方式。”

　　Kim说，那些已经怀疑望月新一关于abc猜想的证明过程的数学家或许会将Scholze和Stix的报告视为故事的结尾。其他人会想要研究新的报告，正如同Kim自己已经开始做的那样。他在邮件中写道，在下定决心之前，我认为有需要亲自更加仔细地检查一下证明过程。

　　在过去的几年时间里，许多数论学家已经放弃理解望月新一的论文。但是如果望月新一和他的追随者能够提供一个详尽而连贯的解释，来说明为什么Scholze和Stix的图像过于简单化（姑且假设它是如此），“这或许会释放掉很多疲惫，或许还会让人们有更多意愿再次研究abc猜想，” Kedlaya说道。

　　与此同时，Scholze说：“我认为直到望月新一做出一些非常实质性的修改，并更好地解释这个关键步骤之前，他的工作不应该被看作一个证明。我并没有真地看到一个让我们距离证明abc猜想更近的关键想法。”

　　无论最终讨论的结果如何，望月新一论证的这个特定部分应该会具有更大的清晰度。Kim说：“Scholze和Stix所做的事情是对数学界的重要帮助，无论发生什么，我相信这个报告将会是得到一个明确结果的过程中的一个进展。”