飞蛾扑火，背后竟然隐藏着这么多的数学秘密

　　来源：科学大院

　　世界上最神奇的数是什么，这个问题可能会有千奇百怪的答案，就好像一千个人里就有一千个哈姆雷特。大抵每个人都有自己的幸运数字和偏好。

　　如果问世界上最神奇的方程是什么，那么可能大多数人都会同意，它就是大名鼎鼎的欧拉恒等式。



　　在这个看起来匪夷所思的等式里，汇集了人类科学史上最重要的五个常数。它们在各自的领域里都是皇冠上的明珠，都代表着人类永攀科学高峰的征程中，留下的里程碑式的成就。

　　0和1都是有理数，承载着算数王国的基石；虚数i作为虚拟世界的支柱，是代数学的象征；无理数π诠释着几何学的美；e是自然对数的底，则闪烁着分析学的光芒。现代数学的三大分支，代数、几何与分析，都在这个公式里完美而和谐地融合在了一起。

　　那么，在这个五个数里面，是否就隐藏着这个世界上最神奇的数呢？

　　没错，这个数就是自然常数e。

　　历史上，人们把对数的发明、解析几何学的诞生与微积分的创始并称为17世纪数学的三大成就。e作为自然对数的底，从那个时候起，就逐渐崭露头角，发挥越来越重要的作用，为人类文明的跃升保驾护航。

　　在欧拉恒等式里，0、1和都是生活中处处可见的数字，虚数i则存在于人们的想象之中，只有e似乎最低调，在生活中，大多数人终其一生甚至都不曾见过e的踪影。然而吊诡的是，就是这样一个处处隐姓埋名的无理数，却揭示了宇宙中最深刻的秘密，并且反映了自然界诸多事物发展的底层规律。

　　其实，e一直在和我们默默地打交道，只是它隐匿得太深，要理解它还需必要的抽丝剥茧。比如，它直接影响着我们的钱包大小。


（图片来源：图虫创意免费版）

　　理财已经成为现代人必不可少的常识。对于缺乏投资渠道的老百姓，人们更倾向于把钱存入银行。曾几何时，银行以优渥的定期存款利率吸引着大部分的居民存款。

　　假如某银行一年期的存款利率是100%，我们来看看一年内我们能从银行薅走多少羊毛。如果我们的初始本金是1元，很显然，一年后我们能获得2块钱的收入。

　　如果我们希望银行半年付一次息，所得利息继续作为本金存入银行，那么一年后我们将获得2.25元的收入。

　　如果我们希望银行更加慷慨一些，每一个月进行一次利息计算，然后利滚利，一年后我们将获得2.61元的收入。

　　感谢各种宝宝的出现，我们终于可以实现按天发放利息，并且利滚利，这样算下来，一年后我们将获得2.71456元的收入。

　　然而，我们的“贪得无厌”总归要有一个天花板，即使银行按分钟、按秒来发放利息，我们一年后最多能获得的收益就是这样一个极限，而这个极限正是e。



　　当然，现实生活中并没有出现过100%的年化利率。常见的利率也就是在2%-5%之间浮动。如果银行年化利率是4%，那么一年后的收入极限就是e开25次方，一年后的利息收入最多只有4.08%。

　　从某种角度来说，e就是复利的极限，也是增长的极限。e，就这样悄无声息地为人性的贪婪划定了边界。

　　令人惊奇的是，它还藏身于古人口口相传的故事里。古人常用“飞蛾扑火”来表达对一部分人自不量力的藐视，也用它来称颂为了爱情而视死如归的恋人。然而，飞蛾扑火的悲剧里也伫立着e的背影。人类对这一现象理解的常见误区，是认为昆虫具有趋光性，因此就容易被火光所吸引，从而自取灭亡。通过对昆虫习性的长期研究，人们才发现，飞蛾扑火仅仅是因为它认为自己是在以正确的路线飞行，而不知道早已深处险境。


（图片来源：图虫创意免费版）

　　原来，夜晚活动的昆虫为了确保自己的运动方向，通常以月光作为参考。它在漫长的进化中，已经学会了让自己的行动路线和一束平行光线保持固定的角度，这样就能以直线飞行。

　　月亮与地球的距离过于遥远，每一束到达地球的月光都可以近似看做平行线。虫子就是靠着这亿万年来皎洁的月光为自己导航。不幸的是，当灯光出现以后，它的亮度远远超过月光时，灯光周围的虫子就会把这个最强的光源作为指引它飞行的灯塔。这就为悲剧埋下了种子。

　　由于每一缕灯光都是从一点发出来，在周围空间呈现辐射状。飞蛾根据进化的习惯，依然保持跟每一缕光线相同的夹角飞行。最后的结果，就是旋转地一圈一圈坠入灯光的中心。飞蛾的飞行曲线被称为斐波拉契螺旋线。它描述的就是一个在辐射状的网格图里，按照和每条辐射线保持固定夹角的曲线模型。

　　事实上，大自然中到处都有斐波拉契螺旋线的杰作。

　　海螺的外壳、向日葵的种子、台风的流动、水中的漩涡，包括DNA形成的双螺旋结构，甚至银河系的俯视图，都呈现出这个规律。原因就是它们在生长过程中，始终保持着与辐射线等角度的发展方向，最终就必然形成一种螺旋线的外形。这里面都包含着数字e。唯一的区别，仅仅是e的多少次方不同。在自然界的底层规律上，依然能找到e的踪迹。大自然在各种微观、宏观、生命和非生命体现象中都透露出对e的喜爱。


斐波拉契螺旋线――DNA的双螺旋结构


斐波拉契螺旋线――海螺的外壳结构


斐波拉契螺旋线――向日葵的种子排列


斐波拉契螺旋线――水中的漩涡


斐波拉契螺旋线――台风的流动规律


斐波拉契螺旋线――银河系的螺旋臂

　　为什么e会成为宇宙中普遍的现象呢？因为绝对的平行在现实中并不存在，只要尺度足够大，很多事物都会以辐射状的形态分布。这种发散的趋势造就了螺旋线的结构。

　　这样，一个不起眼的常数，却能在小到DNA的双螺旋，大到星系的分布规律中出现。e，因为反映了大自然的底层规律，也因此才被称为自然常数。

　　不仅如此，e在现代科学中也发挥越来越重大的作用。它的出现连接了三角函数与指数函数，奠定了分析大厦的基础。以e为基础的傅里叶变换成了信息技术的鼻祖，更造就了今日的IT产业。

　　同时，e在数学、物理、化学、生物、经济学等学科里变得更加举足轻重。

　　数学家可以用e来轻易计算高位数的高次方根；物理学家可以用e来求解各种揭示宇宙规律的物理方程；化学家用e来进行PH值的计算，来得到对数的浓度图。生物学家用e来描述微生物的生长和细菌的繁殖；经济学家也用e来处理大数据的金融分析。这是一个无处不在的数字。

　　e不仅重要，而且是唯一的。如果没有这样一个无理数的存在，也许整个宇宙都将不复存在。它以最让人难懂的价值，却肩负着宇宙间所有事物的进展规律。

　　因此，我们有充分的理由相信，e，就是世界上当之无愧的神奇。